【题目】函数f(x)=x2+log2|x|,则不等式f(x+1)﹣f(3)<0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞) B.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞)
C.(﹣4,﹣1)∪(﹣1,2) D.(﹣1,1)∪(1,4)
【答案】C
【解析】
根据f(x)=x2+log2|x|,是偶函数,将原不等式转化为f(|x+1|)<f(3),再根据当x>0时,f(x)=x2+log2x为增函数,得到x+1|<3且x+1≠0求解.
不等式f(x+1)﹣f(3)<0等价于f(x+1)<f(3),
∵f(x)=x2+log2|x|,
∴f(﹣x)=(﹣x)2+log2|﹣x|=x2+log2|x|=f(x),
则函数f(x)是偶函数,
且当x>0时,f(x)=x2+log2x为增函数,
则不等式f(x+1)<f(3)等价于f(|x+1|)<f(3),
∴|x+1|<3且x+1≠0,
即﹣3<x+1<3且x≠﹣1,
则﹣4<x<2且x≠﹣1,
∴不等式的解集为(﹣4,﹣1)∪(﹣1,2),
故选:C.
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