【题目】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【答案】见解析
【解析】试题分析:方程(2x)2+m•2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0有且只有一个正实数根,考虑应用判别式,分判别式大于0和等于0两种情况
试题解析:∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0时,即m2-4=0.
∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
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