【题目】已知f(x)=2x3﹣6x2+m(m为常数),在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,2]上的最小值为 .
【答案】﹣37
【解析】
试题本题是典型的利用函数的导数求最值的问题,只需要利用已知函数的最大值为3,进而求出常数m的值,即可求出函数的最小值.
解:由已知,f′(x)=6x2﹣12x,有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0,
因此当x∈[2,+∞),(﹣∞,0]时f(x)为增函数,在x∈[0,2]时f(x)为减函数,
又因为x∈[﹣2,2],
所以得
当x∈[﹣2,0]时f(x)为增函数,在x∈[0,2]时f(x)为减函数,
所以f(x)max=f(0)=m=3,故有f(x)=2x3﹣6x2+3
所以f(﹣2)=﹣37,f(2)=﹣5
因为f(﹣2)=﹣37<f(2)=﹣5,所以函数f(x)的最小值为f(﹣2)=﹣37.
答案为:﹣37
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